更野蛮的做法

不妨设 $x,y\ge0$，设 $t=R-x-y$。

如果向下的步数定了，那么向上、向左、向右的步数就都定了。

除序即得：

$$Ans=\sum_{k}\frac{(x+y+t)!}{k!(x+k)!(t/2-k)!(y+t/2-k)!} $$

向下推：

$$\begin{align*} Ans&=\sum_{k}\frac{(x+y+t)!}{k!(x+k)!(t/2-k)!(y+t/2-k)!}\\ &=\sum_{k}\frac{(x+y+t)!(t/2)!(x+y+t/2)!}{k!(x+k)!(t/2-k)!(y+t/2-k)!(t/2)!(x+y+t/2)!}\\ &=\binom{x+y+t}{t/2}\sum_{k}\binom{t/2}{k}\binom{x+y+t/2}{y+t/2-k}\\ &=\binom{x+y+t}{t/2}\binom{x+y+t}{y+t/2} \end{align*} $$

其中用到了 $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，以及范德蒙德卷积 $\sum_{k}\binom{t/2}{k}\binom{x+y+t/2}{y+t/2-k}=\binom{x+y+t}{y+t/2}$（考虑组合意义或者其生成函数均可证）。

预处理组合数即可。